Objectifs : Identifier et expliciter les différentes techniques pour établir les relations multiplicatives. Passer de l’une à l’autre des relations possibles. Comprendre la définition de la fraction d’une unité.
Vous disposez d’un fichier GeoGebra qui vous permet de comparer des bandes. Ici comparer signifie trouver une relation multiplicative qui relie l’une à l’autre. Dans le menu à votre disposition vous avez un outil qui permet de dupliquer une bande. Pour l’utiliser, vous devez sélectionner l’outil “dupliquerBande” puis sélectionner un point créé ou non (il se créera automatiquement) et enfin sélectionner la bande à dupliquer. Vous pouvez valider seul votre réponse. Vous pouvez pour cela saisir votre relation dans la barre de saisie en respectant la syntaxe donnée en bas de l’écran en rouge. Attention, il n’y a pas d’erreur c’est bien “==” dans la syntaxe. (Cela n’est pas obligatoire).
Une première technique : La juxtaposition
2 \times R = 3 \times B \ ou \ R = 1,5 \times B mais que vaut B en fonction de R ?
Correction et explications
Ecrire 2 \times R = 3 \times B \ ou \ R = 1,5 \times B, c’est dire que – 2 bandes rouges sont 3 fois plus grandesque la bande bleue ou encore que – la bande rouge est 1,5 fois plus grande que la bande bleue. On peut regarder la relation “dans l’autre sens” c’est à dire comparer la bande bleue à la bande rouge. La bande rouge devient alors la référence. On peut alors écrire : – 3 bandes bleues sont 2 fois plus grandes que la bande rouge. ou encore que – la bande bleue est le tiers de 2 bandes rouges La nouvelle relation que l’on peut écrire est alors : B = \frac{2 \times R}{3}
Seconde technique : Graduer la plus petite des bandes
La bande bleue est graduée en quarts
On obtient alors les relations multiplicatives suivantes : R = \frac{7}{4} \times B
Compléter alors les égalités suivantes :
...\times R = ... \times B
\frac{...}{...}\times R = B
Correction et explications
Pour choisir une graduation qui convient, on fait coïncider un petit trait qui marque une graduation avec la bande rouge. Ecrire R = \frac{7}{4} \times B signifie que 4 \times R = 7 \times B . Cette relation multiplicative signifie qu’il me faut 4 bandes rouges pour obtenir 7 bandes bleues. Pour s’en convaincre, on peut utiliser les graduations de la plus petite des bandes. Pour former 4 bandes rouges, je dois avoir 4 bandes bleues complètes et 4 fois \frac{3}{4} de bande bleue. Or 4 \times \frac{3}{4} = 3 par définition de la fraction \frac{3}{4} . Ainsi pour former une grande bande de la même longueur que 4 bandes rouges, j’ai besoin de 7 bandes bleues. L’égalité \frac{4}{7}\times R = B s’obtient alors à l’aide de ce qui a été fait dans la première partie.
Troisième technique : Graduer la plus grande des bandes
Compléter l’égalité suivante : B = \frac{...}{...} \times R Peut-on trouver une autre manière de graduer la bande rouge pour trouver la relation multiplication qui lie B et R ?
Correction et explications
Pour choisir une graduation qui convient, on fait coïncider un petit trait qui marque une graduation de la bande rouge avec la bande bleue. La bande rouge est partagée en 10. Pour former la bande bleue, j’ai besoin de 6 petits morceaux de ces 10 petits morceaux qui forment la bande rouge. Ici on peut écrire B = \frac{6}{10} \times R . Avec ce que nous avons fait avant, cette relation multiplicative signifie qu’il me faut 6 bandes rouges pour obtenir 10 bandes bleues. On peut alors avoir une seconde relation plus simple : 3 bandes rouges pour obtenir 5 bandes bleues. J’ai utilisé 2 fois moins de bandes rouges, j’obtiens 2 fois moins de bandes bleues. B = \frac{6}{10} \times R = \frac{3}{5} \times R . On peut donc écrire un nombre infini de relations multiplicatives à partir d’une seule relation. B = \frac{3}{5} \times R = \frac{3\times 7}{5\times 7} \times R = \frac{21}{35} \times R. On retiendra ici que l’on peut obtenir des fractions égales ou les simplifier. \frac{3}{5} = \frac{3\times 7}{5\times 7} = \frac{21}{35}=\frac{6}{10}
Quatrième technique : Graduer les bandes et faire coïncider les graduations
La bande bleue est graduée en septièmes et la bande rouge est graduée en neuvièmes. Compléter les relations suivantes :
B = \frac{...}{...} \times R
... \times B = ... \times R
\frac{...}{...} \times B = R
Correction et explications
B = \frac{7}{9} \times R 9 \times B = 7 \times R \frac{9}{7} \times B = R En reprenant l’ensemble des explications que nous avons données avant, les 3 relations précédentes sont équivalentes et nous pouvons en inventer d’autres comme par exemple : \frac{45}{35} \times B = R . A vous d’expliquer cette dernière.
