égalité, addition, soustraction et multiplication.
La fraction en tant que nombre sur la droite numérique
Définition : Soit a un nombre entier et b un nombre entier non nul. La fraction \dfrac{ a}{b} est le nombre qui lorsque je le multiplie par b donne a
Ou écrit autrement \dfrac{ a}{b} est le nombre qui vérifie l’égalité suivante :
\dfrac{a}{b} \times b =a
Sur la droite numérique : nous pouvons voir ce nombre comme la longueur du saut d’un robot qui marche (bondit) régulièrement sur une droite numérique en partant de 0. Le nombre \dfrac{ a}{b} va représenter la longueur du saut d’un robot (pour le moment) mais aussi le premier nombre atteint sur la droite numérique.
Exercice 1 : Sur la figure 1 repérer le nombre atteint et la longueur du saut.
Avec la figure 2 expliquer la définition et donner la valeur de la fraction qui caractérise cette marche régulière sur la droite numérique.
Exercice 2 : Quelle est la fraction qui caractérise cette marche régulière sur la droite numérique ?
L’exercice 2 nous permet d’écrire 2 fractions qui caractérisent la marche régulière.
Ces deux fractions sont égales puisqu’elles représentent le même nombre sur la droite numérique.
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L’égalité de deux fractions
Premier point de vue : la marche régulière sur la droite numérique
Si on regarde le point de vue des robots, on peut dire que le robot qui atteint 7 en 8 bonds va aussi atteindre 21 en 24 bonds. En effet, il fait 3 fois plus de bonds donc il arrive 3 fois plus loin. La longueur du bond du robot peut donc s’exprimer de deux manières différentes :
\dfrac{7}{8} = \dfrac{3 \times 7}{3\times 8}=\dfrac{21}{24}
Propriété : égalité de deux fractions.
Soit a, b et k trois nombres entiers avec b \ne 0 et k\ne 0.
\dfrac{a}{b} =\dfrac{k\times a}{k\times b}
Preuve : \dfrac{a}{b} est le nombre qui lorsque je le multiplie par b donne a
Si je multiplie \dfrac{a}{b} par k \times b je vais obtenir k \times a .
Mais par définition le nombre que je multiplie par k \times b pour obtenir k \times a est \dfrac{k\times a}{k\times b} .
Donc ces deux nombres sont égaux et on a donc bien:
\dfrac{a}{b} =\dfrac{k\times a}{k\times b}
On peut utiliser l’égalité de fractions pour trouver une autre écriture du nombre avec un dénominateur différent.
Compléter les égalités suivantes
Définition : Simplifier une fraction c’est écrire une fraction égale des nombres plus petits.
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Multiplication d’une fraction par un nombre entier
Il y a deux marches régulières représentées sur cette droite graduée. Les deux marches ont commencé à 0.
- La marche en rouge.
- La marche en vert dont on ne connait que la première marque.
- Quelle est la fraction représentée par la première graduation rouge après 0 ? Expliquer.
- Quelle est la relation entre la marche rouge et la marche verte ?
- Si on poursuit la marche verte, quel nombre entier est-on certain d’atteindre ? Combien de bonds ont été nécessaires ?
- Conclure et écrivant de 2 manières différentes le nombre qui caractérise la marche verte.
Propriété : produit d’une fraction par un nombre entier.
Soit a, b et c trois nombres entiers avec b \ne 0 .
c \times \dfrac{a}{b} =\dfrac{c\times a}{ b}
Preuve : Si on considère une marche régulière dont la longueur de bond est \dfrac{a}{b} . Alors on sait qu’il atteint le nombre a en b bonds.
Lorsque l’on fait des sauts c fois plus grands on atteindra atteindra un nombre c fois plus grand en faisant le même nombre de sauts (b)
Cette marche est caractérisée de deux manières différentes équivalentes :
c \times \dfrac{a}{b} et \dfrac{c\times a}{ b} .
On a donc :
c \times \dfrac{a}{b} =\dfrac{c\times a}{b}
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Conséquence : On le met où le “-” dans -\dfrac{7}{8} ?
Propriété :
Pour tout nombres entiers a et b avec b \ne 0 . On a :
- \dfrac{a}{b} =\dfrac{- a}{ b} = \dfrac{a}{-b}
Explication :
\dfrac{-a}{b}=\dfrac{(-1)\times (-a)}{(-1)\times b} =\dfrac{a}{-1\times b}.
On a utilisé l’égalité de fractions en multipliant numérateur et dénominateur par (-1) et ainsi obtenir des fractions égales.
-\dfrac{a}{b} = (-1) \times \dfrac{ a)}{ b} = \dfrac{ -1\times a}{ b}=\dfrac{-a}{b}.
On a ici utilisé le produit d’une fraction par un nombre entier.
-\dfrac{7}{8} = \dfrac{-7}{8} =\dfrac{7}{-8}
Conséquence : -\dfrac{7}{8} ça se représente aussi ?
Oui, -\dfrac{7}{8} = \dfrac{-7}{8} , cela signifie qu’en marchant régulièrement, on va atteindre le nombre -7 en faisant 8 bonds à partir de l’origine de la droite graduée.
On marche donc dans la direction des nombres négatifs comme sur la figure ci-dessous où nous avons représenté -\dfrac{20}{7} = \dfrac{-20}{7}. C’est alors la première marque après 0 (du coup la première à gauche du 0) qui situe le point d’abscisse -\dfrac{20}{7}
Addition et soustraction de fractions
On dispose d’une première marche régulière sur la droite numérique. On atteint le nombre 4 en faisant 3 bonds réguliers. Elle est caractérisée par la fraction \dfrac{4}{3} .
La seconde marche régulière sur la droite numérique est donnée par la figure ci-dessous. Ici on atteint le nombre 5 en faisant 6 bonds réguliers. Elle est caractérisée par la fraction \dfrac{5}{6} .
On veut savoir comment caractériser la somme de deux fractions.
Marcher régulièrement sur la droite de la somme \dfrac{4}{3} +\dfrac{5}{6} c’est marcher en faisant un bond vert puis un bond rouge à chaque fois.
On peut aussi le représenter comme un unique bond (figure 9) dont la longueur est la somme des deux autres longueurs.
On souhaite savoir quelle est cette somme à partir des informations dont nous disposons.
On peut donc reproduire les bonds de la figure 9 jusqu’à atteint un nombre entier et ensuite compter le nombre de bonds dont on a eu besoins.
Une autre manière de voir les choses équivalentes et d’utiliser une troisième représentation.
- Avec la marche de la figure 6, je sais que tous les 3 bonds, je vais atteindre un nombre entier.
Donc au bout de 6 bonds, 9 bonds, 12 bonds, etc. - Avec la marche de la figure 7, je sais que tous les 6 bonds, je vais atteindre un nombre entier.
Donc au bout de 12 bonds, 18 bonds, 24 bonds, etc. - Lorsque que je fais 6 bonds dans la première marche on atteint 8 et avec 6 bonds dans la seconde marche, on atteint 5.
- Ainsi en cumulant les deux, on atteint 8 + 5 = 13 en faisant 6 bonds de la figure 9.
Ainsi \dfrac{4}{3} +\dfrac{5}{6}=\dfrac{8}{6} +\dfrac{5}{6}=\dfrac{8+5}{6}= \dfrac{13}{6}
Propriété : addition ou soustraction de 2 fractions
Pour ajouter ou soustraire deux fractions :
- Je dois arriver à les écrire avec le même dénominateur (en utilisant la propriété d’égalité de 2 fractions). On dit que l’on réduit au même dénominateur.
- J’effectue ensuite la somme ou la différence des nouveaux numérateurs.
Exemple : \dfrac{5}{7} +\dfrac{9}{11}=\dfrac{5 \times 11}{7 \times 11} +\dfrac{9 \times 7}{11 \times 7}=\dfrac{55}{77}+\dfrac{63}{77}= \dfrac{55+63}{77}=\dfrac{118}{77}
Pourquoi on dit que l’on réduit au même dénominateur ?
Le grand rectangle représente 1 ou l’unité et on a représenté \dfrac{1}{7} en vert, et \dfrac{1}{11} en bleu.
\dfrac{1}{77} est bien un élément commun plus petit (donc réduit) qui permet d’exprimer les deux autres fractions.
\dfrac{1}{11} =\dfrac{7}{11} et \dfrac{1}{7} =\dfrac{11}{77}
Multiplication de deux fractions
\dfrac{13}{7} est la longueur du bond du robot qui atteint 13 en 7 bonds.
Des bonds 3 fois plus petits ont pour longueur \dfrac{1}{3} \times\dfrac{13}{7} parce que ses sauts étant 3 fois plus petits, ils sont le tiers de \dfrac{13}{7} .
En faisant lui aussi 7 bonds, il ira 3 fois moins loin de 13. Mais ce nombre n’est pas un décimal.
On peut voir les choses autrement : On doit faire 3 fois plus de bonds pour arriver à 13. On devra donc faire 3 \times 7 = 21 bonds pour arriver à 12 exactement.
On trouve alors la relation :
\dfrac{1}{3} \times \dfrac{13}{7} = \dfrac{13}{3\times 7}=\dfrac{13}{21}
Traitons un autre exemple en utilisant le produit d’une fraction par un nombre entier.
\dfrac{6}{5}\times \dfrac{7}{11}= (6\times \dfrac{1}{5})\times \dfrac{7}{11}=6\times (\dfrac{1}{5}\times \dfrac{7}{11})=6\times \dfrac{7}{5\times 11}=\dfrac{6\times 7}{5\times 11}= \dfrac{42}{77}=
On sait donc multiplier deux fractions entre elles.
Propriété : Produit de deux fractions
Soit \dfrac{a}{b} et \dfrac{c}{d} deux fractions.
On \dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a\times c}{b \times d}.