Définition
Définition : Puissance positive d’un nombre réel
On note a^n = \underbrace{a \times a \times a \times ... \times a}_{ n \ fois \ le \ facteur \ a } n est un nombre entier et a est un nombre réel.
Par conventiona^0 = 1 pour tout nombre a\ne 0.
On remarque aussi que a^1 = a
Dans toute la suite a est un nombre réel non nul.
Écrire la définition et calculer
4 ^3 =(-2)^4 =(-5)^5 =-3^4 =
Puissance et priorités opératoires
La puissance est prioritaire sur les autres opérations, elle représente une suite de multiplication. Les calculs entre parenthèses restent prioritaires sur la puissance.
Cela explique donc que -3^4 =-81 soit négatif et que (-2)^4 = 16 soit positif.
Propriété : Règles de calcul avec les puissances
Pour tout n et p des nombres entiers, et a un nombre réel,
a^n \times a^p = a^{n+p}\dfrac{a^n}{a^p} = a^{n-p}
Explication :
Pour la première relation
a^n = \underbrace{a \times a \times a \times … \times a}_{ n \ fois \ le \ facteur \ a }
a^p = \underbrace{a \times a \times a \times … \times a}_{ p \ fois \ le \ facteur \ a }
a^n \times a^p = \underbrace{a \times a \times a \times … \times a}_{ n \ fois \ le \ facteur \ a } \times \underbrace{a \times a \times a \times … \times a}_{ p \ fois \ le \ facteur \ a } = \underbrace{a \times a \times a \times … \times a}_{ n+p \ fois \ le \ facteur \ a }=a^{n+p}
Pour la seconde relation, on va prendre un exemple avec n>p
\dfrac{7^5}{7^3}=\dfrac{7 \times 7 \times7 \times7 \times 7}{7 \times7 \times 7}=\dfrac{7\times 7}{1}=7^{5-3}
Exercices produit de puissances :
Suivez ce lien http://saliba.maths.free.fr/index.php/4emes/produit-de-puissances/
Exercices quotient de puissances :
Suivez ce lien http://saliba.maths.free.fr/index.php/4emes/quotient-de-puissances/
Conséquence de cette propriété
\dfrac{7^0}{7^1}=7^{0-1}=7^{-1}=\dfrac{1}{7}
- Mais on sait aussi que
a^1 = a. - De la même manière
a^1 \times a^{-1} = a^{1-1}=a^0=1 - Enfin par définition
a \times \dfrac{1}{a}=1
Donc a^{-1} = \dfrac{1}{a} pour tout nombre a \ne 0
Inverse d’un nombre non nul
Définition : L’inverse du nombre a non nul est le nombre dont le produit par a donne 1.
a^{-1}est l’inverse de a pour tout nombre a non nul.
On a donc la relation a\times a^{-1}= 1 pour tout nombre a non nul.
Quelques exercices avant de continuer
Écrire le plus simplement possible :
8^{12}\times 8^{-4}=9^2\times 9^{-6}=\dfrac{ {2,1}^{12}}{ {2,1}^{4}}=\dfrac{3^{-7}}{3^{-9}}=
Écrire sans puissance :
9^{-1} =12^{-1}=
Propriété : Puissance de puissance
Pour tout a non nul et n et m des nombres entiers relatifs
{(a^n)}^{m}= a^{n\times m}
Explication :
On écrit la définition {(a^n)}^{m}= a^{n\times m}= \underbrace{a^n \times a^n \times a^n \times ... \times a^n}_{ m \ fois \ le \ facteur \ a^n }
D’après la définition de a^n = \underbrace{a \times a \times a \times ... \times a}_{ n \ fois \ le \ facteur \ a }, on a donc bien
{(a^{n})}^m = \underbrace{a \times a \times a \times ... \times a}_{ n \times m \ fois \ le \ facteur \ a }
Puissance d’une fraction
{(\dfrac{a}{b})}^n=\dfrac{a^n}{b^n} pour tout b \ne 0
Grace aux puissances, on sait maintenant diviser par une fraction …
On sait que pour toute fraction \dfrac{a}{b} , comme pour tout nombre non nul,
\dfrac{a}{b} {\bf \div \dfrac{a}{b}} = 1
Mais on sait aussi que :
\dfrac{a}{b} {\bf \times {(\dfrac{a}{b})}^{-1}} = 1
On en déduit donc une première règle :
Diviser par une fraction est équivalent à multiplier par son inverse.
C’est quoi l’inverse d’une fraction ?
Par définition : \dfrac{a}{b} {\bf \times {(\dfrac{a}{b})}^{-1}} = 1
Mais on sait aussi que \dfrac{a}{b} {\bf \times \dfrac{b}{a}}=\dfrac{a \times b}{a \times b} = 1
Donc {\bf {(\dfrac{a}{b})}^{-1} = \dfrac{b}{a} }
Exemple :
\dfrac{8}{7} \div \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{7} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{8 \times 3}{7 \times 4} = \dfrac{24}{28}=\dfrac{6}{7} après simplification;