Objectif : Résoudre des problèmes d’aires. Pour certains il s’agit de calculer d’autres de comparer avec ou sans calculs.
Exercice 1 : ABCD est un rectangle de centre O. A l’aide des informations fournies par la figure, calculer l’aire du quadrilatère ABEO. Justifier votre réponse.
correction
Une méthode possible est la suivante :
L’aire du quadrilatère ABEO est la différence de l’aire du triangle ABC et de celle du triangle CEO.
L’aire du triangle ABC = \frac{AB \times AC}{2} = \frac{10 cm \times 6 cm }{2} = 30 cm². Donc l’aire de ABC = 60 cm².
L’aire du triangle OEC = \frac{EC \times 5}{2} = \frac{2 cm \times 5 cm }{2} = 5 cm²
On remarque en effet qu’une base du triangle OEC est EC et que la hauteur qui correspond à cette base est la moitié de AB. en rajoutant la parallèle à la droite (AB) passant pas O.
Ainsi Aire(ABEO) = Aire(ABC)-Aire(ECO) = 30 cm² - 5 cm² = 25 cm².
Exercice 2 :Avec un quadrillage. Sur la figure ci-dessous, vous devez calculer l’aire de chacun des 3 parallélogrammes. Le segment noir mesure 1 cm.
correction
En utilisant les carreaux et l’échelle donnée nous pouvons obtenir :
Une base de IJKL est LK, la hauteur correspondante est 3 donc Aire(IJKL) = IJ \times 3 = 2 \times 3 =6 .
De même Aire(ABCD) = DC \times 3 = 4 \times 3 = 12 .
Et Aire(EFGH) = EH \times 3 = 3 \times 3 = 9
Exercice 3 :Choisir la bonne mesure. PONT est un parallélogramme. PT = 10 cm et OP = 5 cm. 1. A l’aide des indications fournies par la figure, calculer l’aire du parallélogramme PONT. 2. Quelle est la longueur du segment RN ? Expliquer. 3. Construire la figure en vraie grandeur.
correction
Pour calculer l’aire de PONT, nous devons choisir entre deux bases possibles. [PO] ou [PT].
La hauteur qui correspond à la base [PO] est [RN]. dont je ne connais pas la longueur.
Celle qui correspond à [PT] est [SP] et je connais SP = 3.
Donc Aire(PONT)= PT \times PS = 10 \times 3 = 30 .
Mais on a aussi Aire(PONT) = PO \times RN = 5 \times RN = 30 .
Donc RN = 30 : 5 = 6.
Exercice 4 : Avec ou sans calcul ? 1. Le losange CBED et le quadrilatère HJGK ont-ils la même aire ? Expliquer. 2. Construire en vraie grandeur les deux quadrilatères.
correction
Les deux figures ont la même aire pour le losange CDEB, son aire est 24. (ne pas oublier de diviser par 2 … )
Pour GKHJ, je peusx le voir comme deux triangles symétriques par rapport à (GH) les triangles GHJ et GHK. Son aire est alors aussi de 24.
Exercice 5 :Comparer 1. ABCD est un rectangle dans ce rectangle nous avons tracé 4 disques de même rayon. Trouver le rayon du disque de centre E puis calculer son aire. 2. FGHI est un rectangle de même dimensions. On retire les 4 disques du rectangle ABCD et les 2 demi-disques du rectangle FGHI. Les aires verte et rose restantes sont-elles égales ?
correction
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Pour calculer l’aire rose :
Je trouve le rayon d’un petit cercle bleu : 0,75 = 3 : 4 c’est une valeur exacte.
l’aire d’un petit disque bleu est \pi \times 0,75 \times 0,75 = 0,5625 \pi
L’aire des 4 disques est alors 4 \times 0,5625 \pi = 2,25 \pi .
Je dois donc soustraire 2,25 \pi à l’aire du rectangle rose qui est 3 \times 9
Pour calculer l’aire verte :
Je trouve le rayon du grand cercle bleu : 1,5 = 3 : 2 c’est une valeur exacte.
l’aire d’un grad disque bleu est \pi \times 1,5 \times 1,5 = 2,25 \pi
L’aire des 2 demi-disques est alors 2,25 \pi .
Je dois donc soustraire 2,25 \pi à l’aire du rectangle rose qui est 3 \times 9 .
Les aires vertes et roses sont bien égales.
