Objectif : Suivre un programme de construction. Mesurer l’aire d’un figure sans calcul. Distinguer aire et périmètre.
Partie 1 : La construction de l’horloge.
Ci-dessous se trouve le programme de construction de l’horloge de Kursack. Cette figure géométrique permet de construire un polygone régulier à 12 côtés. C’est un dodécagone régulier. Mais elle a aussi de jolies particularités que nous verrons par la suite. Déplacer le curseur étape pour voir les différentes étapes de la construction.
Les deux premiers points sont à placer le plus loin possible l’un de l’autre pour que votre horloge soit la plus grande possible. Attention, vous ne pourrez peut-être plus construire les premiers triangles équilatéraux avec votre compas. Il faudra trouver une autre manière de faire pour ceux-là …
A vous de la construire 😉
Partie 2 : Une curiosité à expliquer
L’horloge de Kursack permet d’expliquer sans calcul que l’aire du dodécagone en vert est égal au frac{3}{4} de l’aire du carré en bleu.
A vous de le prouver. Ci-dessous se trouve des images du carré et du dodécagone que vous pouvez exploiter.
Ana a proposé une solution très simple qui consiste à compter le nombre de triangles équilatéraux et isocèles.
Il manque toutefois un argument important : Pourquoi les triangles isocèles sont tous superposables ?
Pensez à utiliser les angles …
Partie 3 : distinguer aire et périmètre
En vous aidant du résultat établi dans la partie 2, répondre aux deux questions suivantes.
Lorsque le petit carré a pour périmètre 20 cm, quelle est l’aire du dodécagone ?
Lorsque l’aire du dodécagone est de 75 cm², quelle est la longueur du côté du carré ?
Correction
Question 1 : Lorsque le petit carré a pour périmètre 20 cm, la longueur du côté du carré est 20 cm : 4 = 5 cm.
L’aire du carré est alors de 25 cm² (5 x 5 = 25)
L’aire du dodécagone est de 25 cm² x \frac{3}{4} =18,75 cm².
Question 2 :
L’aire du dodécagone est de 75 cm². 75 cm² c’est \frac{3}{4} de 100 cm².
L’aire du carré est donc 100 cm².
Pour trouver la longueur du côté du carré, je cherche le nombre positif que je multiplie par lui-même pour obtenir 100.
Le côté du carré est alors de 10 cm car 10 x 10 = 100.
